Problème de seuil

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\)  par \(u_n = \dfrac{n+2}{n+1}\) .

1. Calculer \(u_0,\, u_1,\,u_2 \ \text{puis} \ u_{99}\) .

2. a. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_n - 1\)  en fonction de \(n\) .
    b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a  \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{- 1}{(n+1)(n+2)}\) .
     c. En déduire le sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\) .

3. Soit \(a\)  un nombre réel dans l'intervalle \(]1 ~;~2]\) .

Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel \(n\)  tel que \(u_n \leqslant a\) , où \(a\)  est un nombre de l'intervalle \(]1~;~2]\) .

\(\begin{array}{}\texttt{Def seuil (a) :}\\\quad\texttt{n = 0 }\\\quad\texttt{while (n+2) / (n+1) ... a :}\\\qquad\texttt{n = }\ldots\\\quad\texttt{return }\ldots \\\end{array}\)